В
системах автоматизации проектирования и
производства для конструирования кривых и
поверхностей применяется аппроксимация
методом Безье. Сущность метода заключается
в следующем.
Пусть
задана совокупность из (n+1)
точек
которую будем
называть ломаной Безье.
Кривая Безье,
соответствующая этой ломаной, описывается
в виде функции параметра t следующим полиномом:
(5.11)
где
-
радиус-вектор точек на кривой, а Jni(t) -
аппроксимирующие многочлены Бернштейна,
равные
(5.12)
Здесь
0£t£1
и, кроме того, предполагается, что ti=1
при i=0
и t=0.
Ломаная
Безье однозначно определяет форму кривой
Безье. Изменяя положения вершин ломаной,
можно управлять формой соответствующей
кривой Безье. При этом следует иметь в виду
следующее:
самой кривой в общем случае будут
принадлежать только первая и последняя вершины
ломаной
Безье, остальные вершины будут лишь
оказывать влияние на вид и гладкость кривой
(рис.5.8);
наклоны касательных векторов в крайних
точках кривой Безье и ломаной Безье совпадают
(рис.5.8), поэтому при сопряжении двух кривых
Безье, заданных ломаными
и
,
одинаковый наклон кривых в точке
соединения получается в том случае, если
точки
(которая совпадает
с
) и
лежат на одной
прямой;
как видно из выражений
(5.11) и (5.12), степень
аппроксимирующего полинома равна
n (т.е. числу звеньев в ломаной Безье),
поэтому для увеличения порядка кривой
Безье достаточно
лишь задать дополнительные вершины в
соответствующей ломаной Безье;
кривая Безье всегда целиком лежит внутри
выпуклой оболочки ломаной Безье.
Метод
аппроксимации Безье реализован в
программах BEZ2
и BEZ3,
с помощью которых можно построить
соответственно двумерные и трехмерные
кривые Безье.
Программа BEZ2 (XP, YP, NPLG, XC, YC, NPTS) позволяет вычислить значения координат точек плоской кривой, аппроксимирующей заданную совокупность точек методом Безье. Программа имеет следующие параметры:
