5.5. Aппроксимация функции конечным рядом Фурье

Eсли функция f(x) задана на отрезке [0, 2p] в (2N+1) диск­ретных точках, т.е. с шагом 2p/(2N+1), то она может быть представлена как

(5.5)

причем 0£ M£ N и 0£ x£ 2p.

Поскольку система функций, участвующих в разложении (5.5), ортогональна на заданном дискретном множестве точек, коэффициен­ты разложения представляются формулами

Eсли в разложении (5.5) M=N, то (2N+1) значений f(x) (x=0, 1,…, 2N) определяют (2N+1) коэффициентов A_k, B_k. Известно, что сумма ряда в заданных точках будет в точности равна значениям исходной функции, т.е. в заданных точках обеспе­чивается точное совпадение исходной и приближающей функций.

Очень часто разложение в ряд Фурье используется как фильтр, который позволяет устранить верхнюю часть спектра. При разложе­нии в ряд Фурье в спектре будут представлены лишь те гармоники, которые содержат не более M периодов в интервале задания исход­ной функции.

Pеализация метода состоит из трех подпрограмм. Подпрограмма FORIT вычисляет указанное количество коэффициентов M для функ­ции, определенной на дискретном множестве точек, а подпрограмма FORIF - заданное число коэффициентов M ряда Фурье, аппроксимиру­ющего исходную функцию, значения которой определяются с помощью подпрограммы-функции на отрезке [0, 2p] в (2N+1) диск­ретных точках с шагом 2p/(2N+1). По коэффициентам разложения в ряд Фурье, полученным таким образом, можно построить приближающую кривую для функции, заданной на произвольном отрезке. Для этой цели предназначена подпрограмма FORFIT. Kривая может быть вычерчена как непрерыв­ной, так и штриховой линией. (Программы FORIT и FORIF заимство­ваны из пакета научных подпрограмм фирмы IBM).

Программа FORFIT (M, A, B, XBEG, XEND, MPTS) позволяет начертить кривую для периодической функции, заданной коэффициентами разло­жения в ряд Фурье. Kоэффициенты могут быть получены с помощью подпрограмм FORIT или FORIF. Параметры программы:

M

количество гармоник, участвующих в разложении;

 

A

вектор коэффициентов при косинусах в разложении функции длины (M+1) (коэффициенты располагаются в порядке возрастания индекса);

B

вектор коэффициентов при синусах в разложении функции длины (M+1) (коэффициенты располагаются в порядке возрастания индекса, причем B(1)=0);

XBEG, XEND

значения аргументов, соответствующих левому и правому концу отрезка, на котором определена функция;

|MPTS|

число интервалов, покрывающих аппроксимирующую кривую (ширина интервала =(XEND-XBEG)/MPTS, MPTS¹ 0)

Принимаемые величины	Значение
MPTS>0	аппроксимирующая кривая проводится непрерывной линией,
MPTS<0	аппроксимирующая кривая проводится штриховой линией.

Программа FORIT (FNT, N, M, A, B, IER) позволяет вычислить коэффи­циенты ряда Фурье, аппроксимирующего исходную табулированную функцию, заданную на отрезке [0, 2p] в (2N+1) равноотстоящих точках. Параметры программы:  

FNT

вектор, задающий (2N+1) значений табулированной функ­ции;

N

определяет отрезок так, что на отрезке [0, 2p] значения заданы в (2N+1) равноотстоящих точках с шагом 2p/(2N+1);

M

количество гармоник, участвующих в разложении;

A

вектор коэффициентов при косинусах в разложении функции длины (M+1) (коэффициенты располагаются в порядке возрастания индекса);

B

вектор коэффициентов при синусах в разложении функции длины (M+1) (коэффициенты располагаются в порядке возрастания индекса, причем B(1)=0);

IER

код ошибки:

Принимаемые величины	Значение
=0	ошибки нет,
=1	N<M,
=2	M<0.

Программа FORIF (FUN, N, M, A, B, IER) позволяет вычислить коэффи­циенты ряда Фурье, аппроксимирующего исходную функцию, значения которой вычисляются с помощью подпрограммы-функции на отрезке [0, 2p] в (2N+1) точках с шагом 2p/(2N+1). Параметры про­граммы:  

FUN

имя подпрограммы-функции, которая используется для вычисления значения функции в заданных точках.

 

Остальные параметры имеют тот же смысл, что и аналогичные параметры подпрограммы FORIT.

Использование разложения функции в ряд Фурье как фильтра иллюстрируется на рис.5.5, где показана исходная функция, поме­ченная маркером “+” на нижнем рисунке, и приближение, полученное при разложении в ряд Фурье. Hа рисунках указано число M - коли­чество гармоник в разложении.

Рис.5.5. Пример, иллюстрирующий использование разложения в ряд Фурье как фильтра. 

Hиже приводится программа, с помощью которой получен график, изображенный в нижней части рис.5.5 (M=50). 

      DIMENSIОN X(140),Y(140),A(100),B(100) 

      READ 1,Y 

    1 FОRMAT(7F10.3) 

      X(1)=0. 

      DО 2 I=1,137 

    2 X(I+1)=X(I)+.1 

      CALL PAGE(17.,25.5,0,0,0) 

      CALL MINMAX(Y,137,YN,YX) 

      CALL LIMITS(0.,X(137),YN,YX) 

      CALL REGIОN(1.,.5,15.,7.5,0,0,0) 

      CALL LINEMО(X,Y,137,1,-1) 

      CALL FОRIT(Y,68,50,A,B,IER) 

      CALL FОRFIT(50,A,B,0.,X(137),150) 

      CALL ITALIC(1) 

      CALL SYMBОL(3.2,7.3,.5,'M=50',4,0) 

      CALL AXES(0,0,0.,5,0,0,200.,5,0) 

      CALL ENDPG('5.5') 

      END