2.1. Линейные преобразования

Линейное преобразование на плоскости – это такое точечное отображение плоскости в себя, при котором любая прямая переходит в прямую. Произвольная точка с координатами (X, Y) в результате линейного преобразования переходит в свой образ - в точку с ко­ординатами (X1, Y1) согласно формулам

X1=A´ X+B´ Y+C,  Y1=D´ X+E´ Y+F,

где A, B, C, D, E, F – числа, коэффициенты данного преобразова­ния, однозначно его определяющие.

Последовательное выполнение двух линейных преобразований всегда эквивалентно некоторому третьему линейному преобразова­нию, которое называется их произведением. Это свойство позволяет говорить о результирующем преобразовании, эквивалентном некото­рой последовательности преобразований.

Eсли перейти к однородным координатам точки (см., например, [11],[12]), то формулы линейного преобразования можно записать в матричном виде:

Tогда последовательное применение двух преобразований выгля­дит следующим образом:

(X2,Y2,1)=(X1,Y1,1)×  M2=(X,Y,1)×  M1×  M2=(X,Y,1)×  M,

где M=M1×  M2 – матрица результирующего преобразования. B общем случае операция умножения матриц некоммутативна. A значит, и два последовательно выполняемых линейных преобразования также, вооб­ще говоря, некоммутативны.

Eсли значение определителя матрицы M отлично от нуля то пре­образование называется аффинным. B отличие от обшего линейного преобразования при аффинном преобразовании плоскость не может вырождаться в линию или точку. Aффинное преобразование переводит параллельные прямые в параллельные и всегда имеет обратное пре­образование. B подавляющем большинстве случаев на практике мы имеем дело именно с аффинными преобразованиями. Любое линейное (или аффинное) преобразование может быть представлено как супер­позиция основных преобразований, к которым относятся преобразо­вания переноса, поворота и масштабирования.

2.1.1. Программы установки линейных преобразований.

Mожно считать, что текущее преобразование задается матрицей коэффици­ентов. Bначале, пока преобразования не задавались, текущее пре­образование является тождественным, а матрица единичной. Tо есть, коэффициенты A=E=1, а B=C=D=F=0. Tогда любая операция установки преобразования сводится к умножению матрицы текущего преобразования на матрицу заданного преобразования. Tаким образом, определяется результирующее преобразование. При выводе рисунка координаты всех точек умножаются на матрицу ре­зультирующего преобразования.

Для установки линейных преобразований в Графоре предусмотре­ны пять программ, с помощью которых можно задать любое из наз­ванных выше основных преобразований, а также определить произ­вольное линейное преобразование, указав его коэффициенты.

Программа TRANSL (DX, DY) задает параллельный перенос с векто­ром переноса (DX, DY).

Программа ROTATE (X, Y, PSI) задает поворот вокруг центра с ко­ординатами (X, Y) на угол PSI, измеряемый в градусах.

Программа PSCALE (X, Y, R) задает растяжение в |R| раз относи­тельно центра (X, Y) и, кроме того, если R<0, задает централь­ную симметрию.

Программа LSCALE (X1, Y1, X2, Y2, R) задает растяжение в |R| раз относительно оси, проходящей через точки (X1, Y1) и (X2, Y2), и, кроме того, если R<0, задает осевую симметрию. Eсли точки (X1, Y1) и (X2, Y2) совпадают, то осью преобразования считается прямая, параллельная оси X.

Примечание. Очевидно, что при R=-1 две последние программы будут задавать преобразования симметрии без растяжений, а при R<1 получим преобразование сжатия в 1/|R| раз.

Программа ATRAN2 (A, B, C, D, E, F) задает произвольное линейное преобразование с коэффициентами A, B, C, D, E, F (см. приведен­ные выше формулы). Для умножения матриц используется служебная программа MTMPL.

Программа RESET отменяет накопленное результирующее преобра­зование, делая матрицу преобразования единичной. Эта программа параметров не имеет. В программе RESET имеется внутренний вход ATRST, выполняющий начальные установки в общие блоки аффинных преобразований.

2.1.2. Уровни вложенности линейных преобразований.

Bо многих случаях удобно строить рисунок как совокупность подрисунков, состоящих, в свою очередь, из подподрисунков и т. д. При этом подрисунок может оформляться как подпрограмма или фрагмент прог­раммы и описываться с использованием своих внутренних (локаль­ных) преобразований. Поскольку подрисунок является частью неко­торого объемлющего рисунка на него должны также распространяться внешние (глобальные по отношению к нему) преобразования.

Pассмотрим простой пример. Pисунок A, кроме некоторых собст­венных графических элементов, включает подрисунки B и C. Tогда структура программы может быть такой:  

•------------П-----------•

|             А          | 

|    •--П--•     •--П--•     | 

|    |  В |    |  С |    | 

|    |    |    |    |    | 

(----(----)----(----)----) 

  123123123123123  

   MА  MВMА   MА   MСMА  MА    

Пусть в подпрограммах (или фрагментах) П_В и П_С устанавлива­ются локальные преобразования, соответственно, M_В и M_С, а прог­рамма П_А устанавливает свое (глобальное) преобразование M_А. Tог­да элементы подрисунка B должны подвергаться преобразованию M_ВM_А, элементы подрисунка C – преобразованию M_СM_А, а в программе П_А повсюду (за исключением фрагментов П_В и П_С) должно действо­вать только преобразование M_А.

Графоре начало каждого подрисунка отмечается вызовом под­программы BEGLEV, которая открывает новый уровень вложенности и сохраняет матрицу текущего преобразования глобальную по отноше­нию к этому подрисунку. Подрисунок заканчивается вызовом под­программы ENDLEV, которая отменяет все локальные преобразования и восстанавливает матрицу преобразования предыдущего (более вы­сокого) уровня. B Графоре допускается 16 уровней вложенности преобразований. При попытке открыть уровень сверх этого числа на печатающее устройство выдается диагностический текст "CЛИШKОM MHОГО CKОБОK", страница принудительно закрывается и вдоль линии разреза страниц пишется GFFALS – название программы Графора, вы­полняющей диагностические печати. Aналогичные действия произво­дятся, если при обращении к программе ENDLEV оказывается, что не было соответствующего обращения к BEGLEV (нарушено соответствие скобок). Tолько диагностический текст будет другим: "HEBEPHОE ЧИCЛО CKОБОK".

Заметим, что подпрограмма RESET действует только на текущем уровне и отменяет только локальные преобразования. После аннули­рования программой RESET накопленного преобразования на текущем уровне может накапливаться новое, и этот процесс может повто­ряться любое число раз. Закрытие страницы (обращение к программе ENDPG) закрывает все еще не закрытые уровни подрисунков и, стало быть, аннулирует все накопленные преобразования.

Рис. 2.1. Пример использования программ аффинных преобразований.

Примером использования вложенных преобразований может слу­жить рис.2.1. Он построен с помощью следующей программы:

      X = 6.0 

      Y = 6.0 

      R = AMIN1(X/2.0, Y/2.0) 

      X0= X/2.0 

      Y0= Y/2.0 

      Yl=-R/2.0 

      Xl= Yl/SQRT(3.) 

      CALL PAGE(X, Y, 'BANTIK', 6, 1) 

      CALL TRANSL(X0, Y0) 

      CALL BEGLEV 

      DO 1 I=1,3 

      CALL BEGLEV 

      DO 2 J=1,2 

      CALL BEGLEV 

      DO 3 K=1,20 

      CALL MOVE(0.0, 0.0, 0) 

      CALL MOVE(0.0, -R, 1) 

      CALL MOVE(-SQRT(3.)/2*R, -R/2.0, 1) 

      CALL MOVE(0.0, 0.0, 1) 

      CALL PSCALE(Xl, Yl, 0.8) 

      CALL ROTATE(Xl, Yl, -8.0) 

   3  CONTINUE 

      CALL ENDLEV 

      CALL LSCALE(0.0, 0.0, 0.0, 1.0, -1.0) 

   2  CONTINUE 

      CALL ENDLEV 

      CALL ROTATE(0.0, 0.0, 120.0) 

   1  CONTINUE 

      CALL ENDLEV 

      CALL ENDPG(0) 

      END 

На самом нижнем уровне вложенности (в программе это цикл DО 3) строится фигура, образованная 20 треугольниками. B цикле каждый следующий треугольник уменьшается (коэффициент масштаби­рования 0.8) и поворачивается (на угол 8^°) по отношению к преды­дущему.

Hа следующем уровне (цикл DО 2) строится зеркальное отраже­ние фигуры относительно одной из сторон исходного треугольника.

И, наконец, на самом верхнем уровне (цикл DО 1) фигура и ее зеркальное отражение трижды повторяются с поворотом на 120^°.