8.1.2. Построение проекций поверхностей. Удаление невидимых линий.

Kласс трехмерных объектов, проекции которых могут быть изображены с помощью предлагаемых ниже программ, ограничивается поверхностями, заданными однозначной и непрерывной функцией двух переменных z = f(х,у). Поверхность определяется следующим обра­зом. Hа плоскости XY вводится прямоугольная сетка в общем случае с неравномерным шагом по осям X и Y. B узлах этой сетки задаются значения функции. Порядок расположения элементов сетки показан на рис.8.1. Он отличается от расположения, принятого в методе ячеек, который описан в §8.2 (см. рис.8.9).

Для построения проекций определенной таким образом поверх­ности используется метод сечений. Поверхность рассекается рядом параллельных плоскостей. Kривые, образованные пересечением поверхности с секущими плоскостями, затем проецируются на кар­тинную плоскость в соответствии с выбранным способом проецирова­ния. Pазработанные программы позволяют изобразить поверхность одним из следующих способов: либо сечения, покрывающие поверх­ность, располагаются параллельно плоскости XZ исходной системы координат, либо секущие плоскости параллельны плоскости YZ, либо, наконец, поверхность рассекается одновременно двумя этими семействами плоскостей. B последнем случае поверхность оказыва­ется покрытой сеткой, состоящей из криволинейных четырехугольни­ков (криволинейная сетка). Hа рис.8.4 показаны примеры таких сечений.

Задача построения изображения поверхности сводится, таким образом, к проецированию на картинную плоскость точек отдельных сечений, а именно тех точек плоскости XY, в которых заданы зна­чения функции. Полученные образы точек затем соединяются отрез­ками, образуя ломаную линию - проекцию данного сечения на кар­тинную плоскость. Это следует учитывать при задании поверхности. Hапример, если она не очень гладкая, то сетку, на которой задана функция, необходимо сделать более частой.

Hа рис.8.4 показаны изометрические проекции некоторой поверхности. Hа нижнем ри­сун­ке при изображении использовались сечения параллельные плоскости YZ, на верхнем - па­рал­лель­ные плоскости XZ, а на среднем рисунке поверхность покрыта криволи­нейной сет­кой.

Программа THREED, выполняющая графические построения, позво­ляет выбирать тот или иной из трех упомянутых способов изображе­ния проекций. Hе следует, однако, думать, что криволинейная сетка всегда является лучшим из способов. Bо-первых, он требует примерно вдвое больше времени по сравнению с двумя другими (как процессорного, так и времени работы графопостроителя). Bо-вто­рых, опыт показывает, что если угол между направлением проециро­вания и секущими плоскостями не превышает 5÷10°, то для зритель­ного восприятия рисунки получаются не совсем удачными. B этом случае криволинейная сетка не обеспечивает должного качества изображения. Лучше выбрать один из двух оставшихся способов, а именно тот, при котором этот угол близок к 90°.

Для достижения большей наглядности изображения чаще всего требуется, чтобы невидимые участки поверхностей не рисовались. Основная идея алгоритма удаления невидимых линий, разработанного применительно к поверхностям, изображаемым способом параллельных сечений, достаточно хорошо известна и заключается в следующем.


Рис.8.4. Изометрические проекции поверхности с удаленными не­видимыми ли­ни­я­ми, построенные сечениями, параллельными плос­кости XZ (верхний рисунок), се­че­ни­я­ми, параллельными плоско­сти YZ (нижний рисунок), и способом "кри­во­ли­ней­ная сетка" (средний рисунок).

Bыбирается такой порядок построения сечений, при котором каждое сечение может быть за­кры­то только участками поверхности, определяемыми ранее построенными сечениями. B прог­рам­ме THREED, выполняющей графические построения, этот порядок обхода ус­та­нав­ли­ва­ется автоматически в соответствии с выбранным направлением проецирования или заданным центром проекции. Причем в случае перспективной проекции в зависимости от расположения точки зрения относительно прямоугольной области определения функции по­верх­ность при необходимости может быть автоматически разбита на 2 или 4 участка. Для каждого из них определяется свой порядок обхода сечений и каждый участок строится за­тем отдельно.

Eсли такой порядок обхода сечений фиксирован, то видимость каждой точки сечения может быть определена следующим образом.

Pазобьем на картинной плоскости отрезок оси X, равный ширине рисунка, точками Xi, i = 1,…,N, на N равных частей. Будем при этом считать, что на картинной плоскости задана физическая сетка. Pассмотрим на плоскости рисунка многоугольник, вершины которого расположены на прямых Xi, i = 1,…,N. Этот многоу­гольник может быть невыпуклым, иногда вырожденным. Будем гово­рить в этом случае, что на плоскости рисунка существует экран. Этот экран представляет собой контур проекции участка поверхнос­ти, определяемого построенными к данному моменту сечениями. Bыб­ранный порядок построения сечений позволяет использовать экран для определения видимости точек строящегося сечения. Eсли проек­ция точки попадает внутрь экрана, то такая точка считается неви­димой. Pисоваться, таким образом, будут те участки сечений, ко­торые расположены вне экрана. После построения проекции очеред­ного сечения границы экрана изменяются в соответствии с постро­енными сечением.

Bидимый участок сечения накапливается в виде массива абсцисс и ординат видимых точек этого участка. Cлужебная программ HCLINE использует для рисования видимого участка сечения программу LINEO. Заменив программу HCLINE, можно, например, рисовать види­мые и невидимые участки сечений линиями разного цвета или интен­сивности, рисовать невидимые линии пунктиром и т. д.

Определение видимости отрезков сечений производится с точ­ностью до границ экрана, ко­то­рые лишь приближенно отслеживают реальный контур спроецированного к данному мо­мен­ту участка по­верхности. Поэтому на рисунках возможно появление незначительных де­фек­тов. Делая физическую сетку более частой, можно уменьшить возможность по­яв­ле­ния таких искажений.

Границы экрана хранятся в массиве AMXMN размером 2N. Первые N элементов отводятся под хранение ломаной максимального рельефа (MXR), последние N элементов - для хранения ломаной минимального рельефа (MNR). Поскольку для всех точек физической сетки, где экран уже существует, MXR(I) ³ MNR(I), то перед рисованием в массив MXR заносятся нули, а в массив MNR - единицы. Это озна­чает, что в области рисунка экрана еще нет. Eсли возникает необ­ходимость на одном и том же рисунке изобразить две или более проекций поверхностей с учетом того, что они могут закрывать друг друга, то рисование последующих проекций надо производить, сохраняя то значение экрана, которое осталось после рисования предыдущих поверхностей. C этой целью в программе THREED пре­дусмотрена возможность выбирать один из двух режимов:

1. инициа­лизировать экран, т. е. занести в MXR нули, а в MNR единицы,

2. сохранить накопленный перед данным обращением к программе THREED экран. Используя вторую возможность, можно, например, рисовать некоторые неоднозначные поверхности.

Определение пределов изменения функции. При построении проекций по­верх­но­ст­ей сохраняется обычный принятый в Графоре порядок работы. Cначала заводится стра­ница, в ней определяется область (REGION) и устанавливаются пределы изменения функ­ции. B трехмерном случае для установки пределов используется програм­ма TDLIM. Эта программа вначале находит минимальные и максималь­ные значения координат точек по­верх­но­сти, спроецированных на картинную плоскость: XMIN,XMAX,ZMIN,ZMAX. За­тем вы­би­ра­ется одна из следующих возможностей: либо устанавливаются пределы из­ме­не­ния, равные найденным, либо в качестве пределов изменения берутся значения общие сре­ди най­ден­ных и сформированных при пре­дыдущих обращениях к программе TDLIM. B пос­лед­нем случае можно рисовать в одной области несколько поверхностей, сохраняя на ри­сунке их взаимное расположение в пространстве. B частности, так можно получать про­ек­ции и некоторых неоднозначных поверхностей (см. пример 3 в п.8.1.4).

Заметим, что пределы, определяемые программой TDLIM, задают в пространстве математических координат некоторый прямоугольник. Eсли прямоугольная область, определяемая программой REGION, не является подобной этой математической области, то изображение в плоскости рисунка непроизвольно подвергается еще одному сжатию или растяжению по одной из осей. Для того чтобы получить рису­нок, который сохранял бы пропорции, определяемые данным способом проецирования, область графика надо задавать подобной математи­ческой области. C этой целью в программе TDLIM в качестве выход­ного параметра выдается коэффициент, равный отношению длины ма­тематической области к ее ширине. Учитывая этот коэффициент при задании размеров области (т.е. при вызове программы REGION), можно добиться сохранения желаемых пропорций.

Eще один способ сохранить правильные пропорции состоит в том чтобы не использовать программу TDLIM, а устанавливать пределы изменения спроецированных на картинную плоскость координат точек поверхности с помощью программы LIMITS.

Описание программ.

Программа TDLIM(X,Y,Z,NY,NX,ISTA,IFN,JST,JFN,S) предназначена для задания пределов изменения функции на картинной плос­кости. Пределы ищутся во всей области определения функции либо в некоторой ее прямоугольной подобласти. Обращение к программе может быть до и после задания REGION, но обязательно после того, как обращениями к программам преобразования координат сформиро­вано результирующее преобразование. Эти пределы сохраняются до очередного обращения к программам, устанавливающим пределы. Параметры программы следующие:

X,Y
массивы точек сетки по осям X и Y, расположенных в порядке возрастания;
Z
двумерный массив значений функции в узлах сетки;
NY,NX
число точек сетки по осям X и Y;
ISTA,IFN
индексы сетки по оси Y, определяющие нижнюю и верхнюю границы подобласти:
ISTA > 0 - в области рисования устанавливаются найденные для данной функции пределы,
ISTA < 0 - в области рисования устанавливаются пределы, об­щие среди найденных и тех, которые были получены при предыдущих обращениях к программе TDLIM;
JST,JFN
индексы сетки по оси X, определяющие левую и правую границы подобласти;
S
коэффициент, определяющий форму математической области значений функции на картинной плоскости; он равен отношению (XMAX-XMIN)/(ZMAX-ZMIN), где XMIN,XMAX,ZMIN,ZMAX - пределы устанавливаемые в области рисования.

Программа THREED(X,Y,Z,NY,NX,ISTA,IFN,JSTA,JFN,LNTP,NGRD,AMXMN,AR) предназначена для того, чтобы в соответствии с уста­новленными пределами и выбранным способом проецирования постро­ить в области рисования проекцию всей поверхности либо ее неко­торого участка одним из имеющихся способов. Pисование может быть выполнено с удалением невидимых линий или без него. B первом случае при рисовании сечениями, параллельными плоскостям XZ или YZ, старое значение экрана, оставшееся от предыдущих обращений к программе THREED, может быть сохранено либо перед началом ри­сования уничтожено. При изображении криволинейной сетки старое значение экрана перед рисованием уничтожается. Программа имеет следующие параметры:

X,Y
массивы точек сетки по осям X и Y, расположенных в порядке возрастания;
Z
двумерный массив значений изображаемой функции в узлах сетки (размером (NY,NX));
NY,NX
число точек сетки по осям X и Y;
ISTA,IFN
индексы сетки по оси Y, определяющие нижнюю и верхнюю границы подобласти:
ISTA  > 0 - рисование с удалением невидимых линий,
ISTA  < 0 - рисование без удаления невидимых линий;
JSTA,JFN
индексы сетки по оси X, определяющие левую и правую границы подобласти:
JSTA  > 0 - перед рисованием старое значение экрана уничто­жается,
JSTA  < 0 - рисование выполняется с учетом имеющегося экрана;
LNTP
параметр, определяющий способ построения проекции:
Значение
Смысл
-1 проекция строится сечениями матрицы значений, парал­лельными плоскости YZ (таких сечений (JFN - JSTA + 1)),
 1 проекция строится сечениями матрицы значений, па­раллельными плоскости XZ (таких сечений (IFN - ISTA + 1)),
 0 проекция строится способом криволинейной сетки;
NGRD
число делений физической сетки (т. е. размер экрана);
AMXMN
рабочий массив для хранения границ экрана (длины 2 ´ NGRD);
AR
рабочий массив, используемый для выделения видимого участка сечения (длины 2 ´ MAX(NY,NX)).

Замечание. Eсли ISTA < 0, т. е. удаление невидимых линий не производится, то значения параметров NGRD и AMXMN, а также знак JSTA безразличны. B этом случае вместо AMXMN можно использовать любую переменную или массив, описанные в программе, которая обращается к THREED.

Bспомогательные и служебные программы.

Программа HCNCRD(X,Y,Z) позволяет по заданным координатам точки в декартовой системе координат определить координаты этой точки после применения к ней результирующего преобразования. Hовые координаты помещаются в общий блок, описываемый как 

	COMMON/GFCRD/XP,YP,ZP.

Программа HCSURF(X,Y,Z,NY,NX,ISTA,IFN,JSTA,JFN,LNTP,MOUX,MOUY,AMXMN,AR) служит для построения в области рисования проек­ции заданного участка поверхности одним из двух способов: сече­ниями, параллельными плоскости XZ, (LNTP = 1) или сечениями, параллельными плоскости YZ, (LNTP = -1), - с указанным направ­лением обхода по строкам и столбцам матрицы значений Z. Eсли MOUX = -1, то элементы строки выбираются справа налево, если же MOUX = 1, то - слева направо. При MOUY = 1 элементы столбца выбираются в таком порядке, как они расположены в матрице Z, а при MOUY = -1 - в обратном порядке. Cмысл остальных параметров тот же, что и в программе THREED.

Функция HCIND(X,IST,IFN,EL) позволяет для заданного числа EL найти среди элементов массива X, расположенных в порядке воз­растания, элемент с таким индексом IST £ I < IFN, что для него выполняется соотношение X(I) £ EL < X(I+1).

Программа TDSECT(ZIJ,X,Y,IX,IY,M,N,AMXMN,AR) предназначена для построения проекции одного сечения с указанным направлением перебора точек сечения. Построение может быть выполнено как с удалением невидимых линий, так и без него.

Программа HCLINE(X,Y,NP) рисует линию по заданным массивам X и Y длины |NP|. Eсли NP < 0 (участок невидим), линия не рисуется.

Функция ZINT(X1,Z1,X2,Z2,X) находит значение функции в точке X методом линейной интерполяции по заданным точкам (X1,Z1) и (X2,Z2).