5.6. Линейный фильтр

B некоторых случаях сглаживание функции, связанное с устра­нением высокочастотных со­с­тав­ля­ю­щих, можно выполнить более прос­тым способом по сравнению с ап­про­к­си­ма­ци­ей рядами Фурье. Напри­мер, простой линейный фильтр позволяет сгладить функ­цию, задан­ную в равноотстоящих узлах t_j, усредняя ее значения по линейной формуле:

.

(5.6)

Заметим, что суммируется нечетное число точек. Eсли суммиру­ется четное количество точек, то используется формула:

.

(5.7)

Вообще говоря, формулы (5.6), (5.7) верны лишь в том случае, если m < j £ (n – m), т.е. точка, для которой вычисляется новое значение функции, отстоит достаточно далеко от границы. Bо всех других случаях соответствующим образом изменяются нижний и верх­ний пределы суммирования и знаменатель. Tакой фильтр уменьшает амплитуды гармоник в верхней половине спектра. Более подробный анализ линейных фильтров можно найти в монографии Xемминга [14].

Описываемый метод сглаживания реализован в программе LINFIL. Более сложные фильтры можно построить с использованием метода наименьших квадратов и соответствующих программ, описанных в этой главе.

Программа LINFIL(A,B,N,M) позволяет сгладить заданную на равномерной сетке функцию с использованием линейного фильтра. Параметры программы следующие:

A

вектор значений функции (длины |N|);

B

вектор усредненных значений функции в узлах (длины |N|);

N

число узлов сетки;

M

параметр, определяющий число узлов, участвующих в сумми­ровании (индекс m из формул (5.6) и (5.7)).

При N > 0 суммирование ведется по формуле (5.6), при N < 0 используется формула (5.7). Число узлов берется равным |N|.

Eсли в обращении к программе в качестве формальных парамет­ров A и B указан один и тот же вектор, то в сумму войдут вновь вычисленные значения функции в узлах, расположенных слева от текущего узла. Этот способ может быть полезен, если используется формула (5.7).

Рис.5.6. Пример использования линейного фильтра.

Hа рис.5.6 показан пример сглаживания функции с помощью линейного фильтра (ср. с рис.5.5).

     DIMENSION Y(140),Z(140)
     READ 5,Y
 5   FORMAT(7F10.3)
     CALL PAGE(16.,25.,'5.6',3,0)
     CALL LINFIL(Y,Z,-137,1)
     CALL MINMAX(Y,137,ZMN,ZMX)
     CALL REGION(1.,.5,15.,10.,0,0,0)
     CALL LIMITS(0.,15.,ZMN,ZMX)
     CALL INCLIN(0.,.1,0,Y,137,0,0)
     CALL INCLIN(0.,.1,0,Z,137,0,0)
     CALL AXES(0,0,0.,0,0,0,0.,0,0)
     CALL REGION(1.,11.,15.,10.,0,0,0)
     CALL INCLIN(0.,.1,0,Y,137,-2,-1)
     CALL LINFIL(Y,Y,137,1)
     CALL INCLIN(0.,.1,0,Y,137,0,0)
     CALL AXES(0,0,0.,0,0,0,0.,0,0)
     CALL ENDPG(0)
     END